纯粹数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学(例如理论物理、理论化学)有密切的关系。

纯粹数学以数论为其代表。

请注意，这些都是与当时整个社会的革命形势分不开的，具体到数学，数学家开始职业化、专业化，他们不仅要教学，还要搞科研。搞科研就要有专业杂志发表成果，没有成果不用说提职提级，可能连饭碗都保不住。200年来，纯粹数学的旗帜为许多天才数学家的创新提供了机会。在这个意义下，挪威人阿贝尔(N．H．Abel，1802--1829)可以说是第一位纯粹数学家。时至今日，纯粹数学已经成为整个数学的主流。

进入20世纪，数学家们受到希尔伯特的影响，开始使用公理系统。罗素建立了“纯粹数学”的逻辑公式，以量化的命题为形式。随着数学的公理化，这些公式变得越来越抽象了，“严格证明”成为的简单的标准。实际上，“严格”在“证明”中没有任何新意。以布尔巴基小组的观点，纯粹数学就是被证明了的。

研究空间形式的几何类

属于第一类的如微分几何、拓扑学。微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。

研究离散系统的代数类

属于第二类的如数论、近世代数。数论是研究整数性质的一门学科。按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。

研究连续现象的分析类

属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。它在数学和物理中有广泛的应用。

可否将数学分成若干圈，最里面是纯粹数学，如数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、分析学这 些学科中的问题，都是来自数学的内部矛盾，应属纯粹数学。往外延伸，如微分方程、概率论、组合数学等则系具体分析， 它们都已形成自身的理论体系，可以从自身内部矛盾来提出待研究的课题，也有以自然科学与工程技术为背景提出的研究课题。至于计算方法、数理统计与运筹学等 ，其实际背景就很清楚如运筹学中的一些问题就是用数学语 言来描写一个实际问题，然后再找出可行的求解方法。统计中的实验设计就是要科学地安排实验 ，使实验次数尽 可能少，而得到的信息量尽可能大。在这里数学与自然科学及工程技术的关系就相当密切了。其价值标准，除要 求理论与方法简单明了外，是否真正有用也很重要，应该属于应用数学范畴，再从处理数学问题的手段来看，纯粹数学与应用数学也很有差异。纯粹数学中，证明定理的手段就是逻辑推理。应用数学则允许用模拟手段，例如有两种求整体极大的方法 ，我们将这两种方法用于已知整体极大的例子，看看这两种方法各成功多少次，各耗去多少机器时间等，由此来说明这两个方法的优劣。