在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。

如集合论中定义的，集合的最大和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

（2）函数

在一般的部分顺序的情况下，最小元素（小于所有其他元素）不应该与最小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的最大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的最大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。元素的最小元素或最大元素是唯一的，但是poset可以具有几个最小或最大元素。如果一个poset有多个最大元素，那么这些元素将不会相互比较。

在完全有序的集合或链中，所有元素都是相互可比的，所以这样的集合可以具有至多一个最小元素和最多一个最大元素。然后，由于相互的可比性，最小元素也将是最小元素，最大元素也将是最大的元素。因此，在一个完全有序的集合中，我们可以简单地使用最小和最大值。如果链条是有限的，那么它总是具有最大值和最小值。如果一个链是无限的，那么它不需要最大或最小。例如，自然数的集合没有最大值，尽管它具有最小值。如果无限链S有界，则集合的闭包Cl（S）偶尔具有最小值和最大值，在这种情况下，它们分别称为集合S的最大下限和最小上限。