分形维数被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分维反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下或过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，进而拓展了人类的视野。

中文名：分形维数

外文名：fractal dimension

所属学科：分形几何

应用：数学，地理，生物，机械故障诊断

类型：数学术语

谢尔宾斯基地毯

分形几何的概念是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出来的，但最早的工作可追溯到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托尔（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。 1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓扑学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

门格海绵

fractal dimension主要描述分形最主要的参量，简称分维。 通常欧几里得几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是 3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、门格海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的整数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成4个长1/3英寸的线段，总长度变为 3×4×1/3=4 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的曲线，永远不会自我相交，曲线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的 ，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，门格海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。

计算分形维数的公式如下

式中

是小立方体一边的长度，

是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目。维数公式意味着通过用边长为

的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。

对于通常的规则物体 ，覆盖一根单位长度的线段所需的数目要

；覆盖一个单位边长的正方形，

；覆盖单位边长的立方体，

。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。

利用维数公式可算得科赫曲线的维数

，门格海绵的维数d=(ln3/ln2)=2.7268。 对于无规分形，可用不同的近似方法予以计算，也可用一定的适当方法予以测定。